สถานะโครงการ

Featured

Posted on May 1, 2018 by InfinityDots

หมายเหตุ: ขณะนี้ผู้ทำโครงการติดภารกิจต่างๆ จึงไม่มีเวลาเขียนโพสท์ต่างๆ
โพสท์โจทย์ประจำสัปดาห์ และเฉลยจะมีอีกครั้งในวันที่ 12 มิถุนายน

ยินดีต้อนรับสู่เว็บเพจของโครงการ InfinityDots

โครงการนี้ยังไม่เสร็จสมบูรณ์ โดยเมื่อเสร็จแล้วจะประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ต่อไปนี้

คลังข้อสอบเก่า
โจทย์ประจำสัปดาห์: ครั้งที่ 2 มาแล้ว
บทความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ และการสอบแข่งขัน : เร็วๆ นี้

ติดต่อเรา หรือเสนอแนะความคิดเห็นต่างๆ ได้ที่นี่

บท 0: หลับตาแล้วนั้น ฉันถูกลืม

Posted on September 13, 2018 by Thori

…ผมเชื่อว่าทุกคนล้วนมีความกลัวในใจ บางคนกลัวเพราะประสบการณ์ในอดีตที่ได้พบ บ้างก็อาจกลัวที่จะต้องพบเจอกับสิ่งใหม่ๆ แต่หากถามว่าผมกลัวอะไรที่สุดละ ผมสามาถตอบได้เลยว่า“จุดจบ”ครับ ในทุกครั้งที่ตื่นขึ้นมาตอนเช้า ผมรู้สึกดีใจเสมอที่ตื่นขึ้นมาเพราะผมไม่อยากคิดเหมือนกันถ้าวันนี้ผมนอนแล้วไม่ตื่นขึ้นมาจะเกิดไรขึ้น ในทุกๆคืนเวลาผมทิ้งร่างกายที่เหนื่อนล้าลงบนที่นอน ผมมักจะต้องคิดเสมอก่อนที่จะหลับว่าหากคืนนี้ผมหลับไปแล้วไม่ตื่นขึ้นมาอีกเลย จะเกิดไรขึ้นบ้าง ผมจะรู้สึกยังไง ความจำที่ผมมีจะหายไปไหม แล้วผมต้องไปที่ไหน และมีอีกคำถามนึงที่ผมมักถามตัวเองเสมอคือจะมีใครจำผมได้ไหม ปฏิเสธไม่ได้ว่าตัวตนของเรานั้นไม่ว่าจะโด่งดังหรือมีชื่อเสียงมากเพียงใด สักวันก็ต้องถูกแทนที่ และเลือนหายไปตามกาลเวลาในที่สุด ทุกครั้งที่คำถามข้อนี้ผุดขึ้นมาในหัวผม ผมก็เฝ้าหาคำตอบอยู่เสมอว่าถึงร่างกายของผมสลายไป ผมจะทิ้งอะไรไว้บนโลกนี้ได้บ้าง ผมหวังไว้เสมอว่าในช่วงเวลาชีวิตอันสั้นนี้จะได้ทำประโยชน์สักอย่างให้กับโลกใบนี้ เรื่องนี้ฟังดูแล้วอาจเป็นไปได้ยากที่จะเกิดขึ้นทั้งตัวผมในตอนนี้และในอนาคตข้างหน้าที่ไม่แน่นอน แต่มีสิ่งหนึ่งที่ผมทำได้ในตอนนี้คือคว้าโอกาสที่ดีนี้เขียนเล่าประสบการณ์และเส้นทางชีวิตของผมให้ผู้อ่านทุกคนได้อ่าน เพราะอย่างน้อยมันก็เป็นสิ่งที่ดีที่สุดตัวผมในตอนนี้ที่ทำได้และจะคงอยู่ต่อไปไม่ว่าเวลาจะผ่านไปนานสักเพียงใด ผมก็หวังว่าเรื่องราวต่อจากนี้จะสร้างแรงบันดาลใจและให้ข้อคิดกับทุกคนไม่มากก็น้อยนะครับ

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 4

Posted on May 22, 2018 by InfinityDots

โจทย์ประจำสัปดาห์ เป็นกิจกรรมที่เราได้คัดสรรโจทย์ 3 ข้อที่น่าสนใจมาในแต่ละสัปดาห์ โดยแบ่งโจทย์ออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ E (Easy), M (Medium), H (Hard) ในที่นี้โจทย์หมวด E จะมีความยากประมาณ TMO หรือน้อยกว่า, โจทย์หมวด M จะมีความยากประมาณข้อสอบค่ายตุลา หรือข้อสอบ IMO ข้อง่าย และโจทย์หมวด H จะมีความยากประมาณข้อสอบ IMO ข้อกลางหรือยาก

E4 [Classical]

อลิซกับบ็อบผลัดกันเลือกจำนวนเต็มบวกจาก $1,2,...,9$ โดยจำนวนที่ถูกเลือกไปแล้วจะถูกนำออกไป ผู้เล่นคนแรกที่ได้จำนวนเต็มบวก $3$ จำนวนที่บวกกันได้ $15$ เป็นคนแรกจะชนะ อลิซ ซึ่งเป็นผู้เล่นคนแรกจะมีวิธีการชนะเสมอหรือไม่

M4 [The Guardian]

กำหนดตารางขนาด $100\times 100$ ซึ่งมีลูกศรชี้ไปยังหนึ่งในสี่ทิศทาง ขึ้น ลง ซ้าย ขวา อยู่ในแต่ละ $100^2$ ช่อง ในตอนแรกคุณอยู่ในช่องช่องหนึ่ง เป้าหมายของตุณคือออกจากตาราง โดยในแต่ละตา คุณต้องเดินไปยังช่องที่อยู่ติดกัน หรือเดินออกจากตาราง โดยเดินตามทิศทางที่ลูกศรในช่องที่คุณอยู่ชี้ไป และเมื่อคุณเดินออกจากช่องใดช่องหนึ่งแล้ว ต้องหมุนลูกศรในช่องนั้นไป $90$ องศาในทิศตามเข็มนาฬิกา จงตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือไม่ที่ ไม่ว่าคุณจะเริ่มต้นจากช่องไหน และไม่ว่าในตอนเริ่ม ทิศทางที่ลูกศรทั้งหมดชี้ไปเป็นทิศใด คุณจะสามารถเดินออกจากตารางได้ในที่สุด

H4 [@gausskarl on AoPS]

กำหนด $\mathcal{P} =\{ P_1,P_2,...,P_{2018} \}$ เป็นเซตของจุด $2018$ ที่อยู่ภายในวงกลมรัศมี $1$ โดยที่ $P_1$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม สำหรับ $k=1,2,...,2018$ ให้ $d_k$ เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจาก $P_k$ ไปยังจุดอื่นในเซต $\mathcal{P}$ ที่อยู่ใกล้กับ $P_k$ มากที่สุด จงพิสูจน์ว่า

$d_1^2+d_2^2+...+d_{2018}^2\leq 9$

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า

เฉลยโจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 3

Posted on May 22, 2018 by InfinityDots

นี่คือเฉลยของโจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 2 เราได้ให้ข้อคิดเห็นสำหรับโจทย์แต่ละข้อ รวมทั้งระดับความยาก $\beta$ in $[1,5]$ โดยโจทย์ค่ายสอวน. จะมี $\beta$ ประมาณ 1-2, โจทย์ TMO ปกติ จะมี $\beta$ ประมาณ 1-3, โจทย์ค่ายตุลาคม จะมี $\beta$ ประมาณ 2-4 และโจทย์ IMO จะมี $\beta$ ประมาณ 3-5

Continue reading →

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 3

Posted on May 15, 2018 by InfinityDots

E3 [ดัดแปลงจาก IMO 2006 P4]

จงแสดงว่าถ้า $p>3$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1$ หารด้วย $p$ ลงตัว

M3 [Bulgaria TST 2005]

จงหาจำนวนสับเซต $B$ ของเซต $\{ 1,2,...,2005\}$ ที่ผลรวมสมาชิกของ $B$ หารด้วย $2048$ แล้วเหลือเศษ $2006$

H3 [reddit]

ในแต่ละตา จากคู่อันดับของจำนวนเต็มบวก $(a,b)$ คุณสามารถเดินไปยัง $(a+1,2b)$ หรือ $(2a,b+1)$ จงแสดงว่าถ้าคุณเริ่มจากคู่อันดับ $(m,n)$ ใดๆของจำนวนเต็มบวก คุณจะสามารถเดินไปยังคู่ของจำนวนเต็มบวกที่เท่ากันได้

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า

เฉลยโจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 2

Posted on May 15, 2018 by InfinityDots

Continue reading →

ข้อสอบ InfinityDots MO

Posted on May 12, 2018 by InfinityDots

การแข่งขัน InfinityDots MO เป็นการแข่งขันจำลอง IMO ที่เราจัดขึ้นบน AoPS โดยเราเคยจัดไปแล้วสองครั้ง โดยมีผู้เข้าร่วมการแข่งขันจำนวนมาก และได้รับกระแสตอบรับเป็นอย่างดี

ตอนนี้ เราได้เพิ่มไฟล์โจทย์และเฉลยไว้ในคลังข้อสอบเก่าของเรา รวมทั้งได้แปลโจทย์เป็นภาษาไทยแล้วสามารถคลิกที่นี่ เพื่อไปยังโฟลเดอร์ข้อสอบโดยตรง

สำหรับผู้อ่านที่มีความสนใจในโจทย์ที่มีความคล้ายคลึงกับแนว IMO เราขอเชิญชวนให้ลองทำโจทย์เหล่านี้ และสามารถดูรายละเอียดเกี่ยวกับการแข่งขันได้ที่โพสของเราบน AoPS ตามลิงก์ต่อไปนี้: InfinityDots MO, InfinityDots MO 2

TMO 15

Posted on May 11, 2018 by InfinityDots

ช่วงสัปดาห์ที่ผ่านมา การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระดับชาติ (TMO) ก็วนมาถึงอีกครั้ง โดย TMO ครั้งที่ 15 นี้จัดที่จังหวัดนครราชสีมา พวกเรา InfinityDots ได้ลองทำโจทย์จากการแข่งขัน แล้วจึงได้เขียนโพสท์นี้ขึ้นเพื่อเผยแพร่วิธีทำ รวมทั้งข้อคิดเห็นของเราต่อโจทย์แต่ละข้อ

เนื่องจากโจทย์คณิตศาสตร์ก็เหมือนภาพยนตร์ คือถ้าเราทราบขั้นตอนที่สำคัญของเฉลยก่อนการทำโจทย์ ก็จะไม่ได้ประสบการณ์การทำโจทย์ที่เต็มที่ เราจึงทำเฉลยไว้เป็นไฟล์ โดยมีลิงก์ให้ท้ายโพสท์นี้ และข้อคิดเห็นของเราต่อโจทย์แต่ละข้อก็จะเป็นข้อคิดเห็นกว้างๆ ที่ไม่เปิดเผยรายละเอียดของเฉลย

ในที่นี้เราได้ให้ระดับความยาก $\beta$ ของโจทย์แต่ละข้อ ดังในโจทย์ประจำสัปดาห์ด้วย แต่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย กล่าวคือโจทย์ค่ายสอวน. จะมี $\beta$ ประมาณ 1-2, โจทย์ TMO ปกติ จะมี $\beta$ ประมาณ 1-3, โจทย์ค่ายตุลาคม จะมี $\beta$ ประมาณ 2-4 และโจทย์ IMO จะมี $\beta$ ประมาณ 3-5

Continue reading →

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 2

Posted on May 8, 2018 by InfinityDots

E2 [@Konigsberg ที่ AoPS]
จงแสดงว่า ในรูปห้าเหลี่ยมนูนใดๆ เราสามารถเลือกเส้นทแยงมุมมาสามเส้น ที่ความยาวของสามเส้นนั้นเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม

M2 [China TST 2007 Quiz]
ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของ $\triangle ABC$ ให้ $M,N$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB,AC$ ตามลำดับ จุด $D,E$ อยู่บน $AB,AC$ ตามลำดับ โดยที่ $BD=CE=BC$ เส้นตั้งฉาก $IM$ จากจุด $D$ และเส้นตั้งฉาก $IN$ จากจุด $E$ ตัดกันที่จุด $P$ จงแสดงว่า $AP\perp BC$

H2 [Google CodeJam 2011]
โกโร่ต้องการจัดเรียงลำดับของจำนวนที่ต่างกัน $n$ จำนวนจากน้อยไปมาก ในแต่ละรอบ โกโร่สามารถกดจำนวนบางจำนวนไว้ไม่ให้เคลื่อนที่ จากนั้นจำนวนทุกจำนวนที่โกโร่ไม่ได้กด จะถูกจัดเรียงอย่างสุ่ม (การจัดเรียงทุกรูปแบบมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน) จงหาค่าคาดหมายของจำนวนรอบที่โกโร่จะต้องใช้ในการเรียงลำดับจำนวน เมื่อโกโร่ใช้วิธีที่ดีที่สุด ในรูปของค่า $n$ และลำดับที่โกโร่ได้มาในตอนเริ่ม

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า

เฉลยโจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 1

Posted on May 8, 2018 by InfinityDots

นี่คือเฉลยของโจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 1 เราได้ให้ข้อคิดเห็นสำหรับโจทย์แต่ละข้อ รวมทั้งระดับความยาก $\beta$ ในช่วง $[1,5]$ โดยระดับ $1$ ความยากประมาณ สอวน. ระดับ $2$ ประมาณ TMO ระดับ $3$ ประมาณค่ายตุลาคม ระดับ $4,5$ ประมาณ IMO

Continue reading →

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 1

Posted on May 1, 2018 by InfinityDots

E1 [Classical]
คุณเริ่มต้นที่จุด $(0,0)$ ในแต่ละก้าว คุณสามารถเดินขึ้น ลง หรือไปทางขวาเป็นระยะทาง 1 หน่วยได้ แต่คุณไม่สามารถเดินวนกลับไปที่จุดเดิมได้ และทุกจุดที่คุณเดินผ่านต้องอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า $(x,y)$ ที่ $0 \leqslant x \leqslant m , 0 \leqslant y \leqslant n$ จงหาจำนวนเส้นทางในการเดินไปยังจุด $(m,n)$

M1 [Kvant Magazine]
จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n>1$

$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor + \left\lfloor\sqrt[3]{n}\right\rfloor + \dotsc + \left\lfloor\sqrt[n]{n} \right\rfloor = \left\lfloor \log_{2}{n} \right\rfloor + \left\lfloor \log_{3}{n}\right\rfloor + \dotsc + \left\lfloor\log_{n}{n}\right\rfloor$

H1 [China MO 1993]
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงบวกไปยังเซตของจำนวนจริงบวกที่ $f(xy)\leqslant f(x)f(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x$ และ $y$ จงแสดงว่า