โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 4

Posted on May 22, 2018 by InfinityDots

โจทย์ประจำสัปดาห์ เป็นกิจกรรมที่เราได้คัดสรรโจทย์ 3 ข้อที่น่าสนใจมาในแต่ละสัปดาห์ โดยแบ่งโจทย์ออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ E (Easy), M (Medium), H (Hard) ในที่นี้โจทย์หมวด E จะมีความยากประมาณ TMO หรือน้อยกว่า, โจทย์หมวด M จะมีความยากประมาณข้อสอบค่ายตุลา หรือข้อสอบ IMO ข้อง่าย และโจทย์หมวด H จะมีความยากประมาณข้อสอบ IMO ข้อกลางหรือยาก

E4 [Classical]

อลิซกับบ็อบผลัดกันเลือกจำนวนเต็มบวกจาก $1,2,...,9$ โดยจำนวนที่ถูกเลือกไปแล้วจะถูกนำออกไป ผู้เล่นคนแรกที่ได้จำนวนเต็มบวก $3$ จำนวนที่บวกกันได้ $15$ เป็นคนแรกจะชนะ อลิซ ซึ่งเป็นผู้เล่นคนแรกจะมีวิธีการชนะเสมอหรือไม่

M4 [The Guardian]

กำหนดตารางขนาด $100\times 100$ ซึ่งมีลูกศรชี้ไปยังหนึ่งในสี่ทิศทาง ขึ้น ลง ซ้าย ขวา อยู่ในแต่ละ $100^2$ ช่อง ในตอนแรกคุณอยู่ในช่องช่องหนึ่ง เป้าหมายของตุณคือออกจากตาราง โดยในแต่ละตา คุณต้องเดินไปยังช่องที่อยู่ติดกัน หรือเดินออกจากตาราง โดยเดินตามทิศทางที่ลูกศรในช่องที่คุณอยู่ชี้ไป และเมื่อคุณเดินออกจากช่องใดช่องหนึ่งแล้ว ต้องหมุนลูกศรในช่องนั้นไป $90$ องศาในทิศตามเข็มนาฬิกา จงตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือไม่ที่ ไม่ว่าคุณจะเริ่มต้นจากช่องไหน และไม่ว่าในตอนเริ่ม ทิศทางที่ลูกศรทั้งหมดชี้ไปเป็นทิศใด คุณจะสามารถเดินออกจากตารางได้ในที่สุด

H4 [@gausskarl on AoPS]

กำหนด $\mathcal{P} =\{ P_1,P_2,...,P_{2018} \}$ เป็นเซตของจุด $2018$ ที่อยู่ภายในวงกลมรัศมี $1$ โดยที่ $P_1$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม สำหรับ $k=1,2,...,2018$ ให้ $d_k$ เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจาก $P_k$ ไปยังจุดอื่นในเซต $\mathcal{P}$ ที่อยู่ใกล้กับ $P_k$ มากที่สุด จงพิสูจน์ว่า

$d_1^2+d_2^2+...+d_{2018}^2\leq 9$

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 3

Posted on May 15, 2018 by InfinityDots

E3 [ดัดแปลงจาก IMO 2006 P4]

จงแสดงว่าถ้า $p>3$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1$ หารด้วย $p$ ลงตัว

M3 [Bulgaria TST 2005]

จงหาจำนวนสับเซต $B$ ของเซต $\{ 1,2,...,2005\}$ ที่ผลรวมสมาชิกของ $B$ หารด้วย $2048$ แล้วเหลือเศษ $2006$

H3 [reddit]

ในแต่ละตา จากคู่อันดับของจำนวนเต็มบวก $(a,b)$ คุณสามารถเดินไปยัง $(a+1,2b)$ หรือ $(2a,b+1)$ จงแสดงว่าถ้าคุณเริ่มจากคู่อันดับ $(m,n)$ ใดๆของจำนวนเต็มบวก คุณจะสามารถเดินไปยังคู่ของจำนวนเต็มบวกที่เท่ากันได้

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 2

Posted on May 8, 2018 by InfinityDots

E2 [@Konigsberg ที่ AoPS]
จงแสดงว่า ในรูปห้าเหลี่ยมนูนใดๆ เราสามารถเลือกเส้นทแยงมุมมาสามเส้น ที่ความยาวของสามเส้นนั้นเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม

M2 [China TST 2007 Quiz]
ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของ $\triangle ABC$ ให้ $M,N$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $AB,AC$ ตามลำดับ จุด $D,E$ อยู่บน $AB,AC$ ตามลำดับ โดยที่ $BD=CE=BC$ เส้นตั้งฉาก $IM$ จากจุด $D$ และเส้นตั้งฉาก $IN$ จากจุด $E$ ตัดกันที่จุด $P$ จงแสดงว่า $AP\perp BC$

H2 [Google CodeJam 2011]
โกโร่ต้องการจัดเรียงลำดับของจำนวนที่ต่างกัน $n$ จำนวนจากน้อยไปมาก ในแต่ละรอบ โกโร่สามารถกดจำนวนบางจำนวนไว้ไม่ให้เคลื่อนที่ จากนั้นจำนวนทุกจำนวนที่โกโร่ไม่ได้กด จะถูกจัดเรียงอย่างสุ่ม (การจัดเรียงทุกรูปแบบมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน) จงหาค่าคาดหมายของจำนวนรอบที่โกโร่จะต้องใช้ในการเรียงลำดับจำนวน เมื่อโกโร่ใช้วิธีที่ดีที่สุด ในรูปของค่า $n$ และลำดับที่โกโร่ได้มาในตอนเริ่ม

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า

โครงการ InfinityDots

Category Archives: โจทย์

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 4

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 3

โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 2