โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 2

โจทย์ประจำสัปดาห์ เป็นกิจกรรมที่เราได้คัดสรรโจทย์ 3 ข้อที่น่าสนใจมาในแต่ละสัปดาห์ โดยแบ่งโจทย์ออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ E (Easy), M (Medium), H (Hard)  ในที่นี้โจทย์หมวด E จะมีความยากประมาณ TMO หรือน้อยกว่า, โจทย์หมวด M จะมีความยากประมาณข้อสอบค่ายตุลา หรือข้อสอบ IMO ข้อง่าย และโจทย์หมวด H จะมีความยากประมาณข้อสอบ IMO ข้อกลางหรือยาก

E2 [@Konigsberg ที่ AoPS]
จงแสดงว่า ในรูปห้าเหลี่ยมนูนใดๆ เราสามารถเลือกเส้นทแยงมุมมาสามเส้น ที่ความยาวของสามเส้นนั้นเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม

M2 [China TST 2007 Quiz]
ให้ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของ   ให้ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน ตามลำดับ  จุด อยู่บน ตามลำดับ โดยที่    เส้นตั้งฉาก จากจุด และเส้นตั้งฉาก จากจุด ตัดกันที่จุด   จงแสดงว่า

H2 [Google CodeJam 2011]
โกโร่ต้องการจัดเรียงลำดับของจำนวนที่ต่างกัน จำนวนจากน้อยไปมาก  ในแต่ละรอบ โกโร่สามารถกดจำนวนบางจำนวนไว้ไม่ให้เคลื่อนที่ จากนั้นจำนวนทุกจำนวนที่โกโร่ไม่ได้กด จะถูกจัดเรียงอย่างสุ่ม (การจัดเรียงทุกรูปแบบมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน)  จงหาค่าคาดหมายของจำนวนรอบที่โกโร่จะต้องใช้ในการเรียงลำดับจำนวน เมื่อโกโร่ใช้วิธีที่ดีที่สุด ในรูปของค่า และลำดับที่โกโร่ได้มาในตอนเริ่ม

ติดตามเฉลยได้ในสัปดาห์หน้า