TMO 15

Posted on by

ช่วงสัปดาห์ที่ผ่านมา การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระดับชาติ (TMO) ก็วนมาถึงอีกครั้ง โดย ​TMO ครั้งที่ 15 นี้จัดที่จังหวัดนครราชสีมา พวกเรา InfinityDots ได้ลองทำโจทย์จากการแข่งขัน แล้วจึงได้เขียนโพสท์นี้ขึ้นเพื่อเผยแพร่วิธีทำ รวมทั้งข้อคิดเห็นของเราต่อโจทย์แต่ละข้อ

เนื่องจากโจทย์คณิตศาสตร์ก็เหมือนภาพยนตร์ คือถ้าเราทราบขั้นตอนที่สำคัญของเฉลยก่อนการทำโจทย์ ก็จะไม่ได้ประสบการณ์การทำโจทย์ที่เต็มที่ เราจึงทำเฉลยไว้เป็นไฟล์ โดยมีลิงก์ให้ท้ายโพสท์นี้ และข้อคิดเห็นของเราต่อโจทย์แต่ละข้อก็จะเป็นข้อคิดเห็นกว้างๆ ที่ไม่เปิดเผยรายละเอียดของเฉลย

ในที่นี้เราได้ให้ระดับความยาก \beta ของโจทย์แต่ละข้อ ดังในโจทย์ประจำสัปดาห์ด้วย แต่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย กล่าวคือโจทย์ค่ายสอวน. จะมี \beta ประมาณ 1-2, โจทย์ TMO ปกติ จะมี \beta ประมาณ 1-3, โจทย์ค่ายตุลาคม จะมี \beta ประมาณ 2-4 และโจทย์ IMO จะมี \beta ประมาณ 3-5

ข้อ 1. ให้วงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม ABC สัมผัส BC,CA,AB ที่จุด D,E,F ให้ P,Q เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน DF,DE ให้ PC ตัด DE ที่จุด R และ BQ ตัด DF ที่จุด S 

  • a) จงแสดงว่า B, C, P, Q อยู่บนวงกลมเดียวกัน
  • b) จงแสดงว่า P, Q, R, S อยู่บนวงกลมเดียวกัน

ข้อคิดเห็น โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์เรขาคณิตข้อง่ายทั่วไป คือถ้าวาดรูปแล้วลองสังเกตรูปก็จะทำได้โดยง่าย เราให้ระดับความยาก \beta = 1.1

ข้อ 2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ซึ่ง f(x+f(y)) = f(x)+y^2 สำหรับทุกจำนวนจริง x และ y

ข้อคิดเห็น โจทย์ข้อนี้ใช้เทคนิคพื้นฐานในการทำโจทย์สมการเชิงฟังก์ชัน กล่าวคือ ควรจะทราบว่าควรแทนค่า x และ y ด้วยอะไร เราคิดว่าความยากของข้อนี้คือ \beta =1.9

ข้อ 3. แม่หญิงการะเกดแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกข้อมูลลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ 1,2,4,8,16 และ 32 GB ชนิดละ 3 แท่ง ให้บ่าว 6 คน คนละ 3 แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าเมืองนครราชสีมาเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ

จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือ ผลบวกความจุแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด

ข้อคิดเห็น สำหรับข้อนี้ ถ้าเข้าใจเงื่อนไขทั้งหมดของโจทย์แล้ว เราคิดว่าการแสดงสิ่งที่ต้องการเป็นเรื่องที่ตรงไปตรงมามาก เราจึงคิดว่าข้อนี้ง่ายกว่าข้อ 2 โดยมี \beta= 1.4

ข้อ 4. ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ โดยที่ a+b+c = 0 จงหาค่ามากสุดของ

\displaystyle \frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}

ข้อคิดเห็น ส่วนสำคัญของข้อนี้คือการเดาคำตอบว่าค่ามากสุดควรจะเป็นเท่าใด ซึ่งเราคิดว่าไม่ใช่เรื่องที่ง่าย แต่ถ้าผู้ทำโจทย์มีประสบการณ์มากพอ อาจจะสังเกตบางอย่างที่ช่วยในการจัดรูปโจทย์ได้ เราคิดว่า \beta = 2.1

ข้อ 5. จงหาค่าน้อยสุดของ a+b ซึ่ง a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่ a^5+b^5 หารด้วย 5 ลงตัว

ข้อคิดเห็น ผู้ทำโจทย์หลายคนคงจะเห็นในทันทีว่าโจทย์ข้อนี้เหมือนเลมม่าที่ทราบกันทั่วไปอยู่เลมม่าหนึ่ง เราจึงให้ \beta = 1.5

ข้อ 6. กำหนดให้ A เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ (x,y,z) ของจำนวนนับที่ทำให้ 2x^2+3y^3=4z^4

  • a) ถ้า (x,y,z) เป็นสมาชิกของ A แล้วจงแสดงว่า 6 หาร x, y, z ลงตัว
  • b) จงแสดงว่า A เป็นเซตอนันต์

ข้อคิดเห็น ข้อย่อยแรกของโจทย์เป็นการไล่การหารลงตัวแบบปกติ ส่วนข้อย่อยหลังนั้นใช้วิธีที่มาตรฐานในการแสดง เราจึงให้ \beta =1.5

ข้อ 7. มีสี 25 สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต S=\{1,2,...,61\} ตัวละหนึ่งสีโดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ m คือจำนวนสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างของ S ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ m

ข้อคิดเห็น วิธีในการทำโจทย์ข้อนี้เป็นวิธีมาตรฐานสำหรับโจทย์ประเภทนี้ ที่เงื่อนไขมีความไม่ต่อเนื่อง (discrete) ระดับความยากของโจทย์ข้อนี้คือประมาณ \beta = 1.6

ข้อ 8. สลาก 2n+1 ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากทุกใบมีค่ามากกว่า 2330 แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับบนสลาก n ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน 1165 จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ n

ข้อคิดเห็น ส่วนสำคัญของโจทย์ข้อนี้คือการใช้เงื่อนไขที่ให้มาในวิธีที่แยบยล เพื่อให้ได้การ bound ค่าที่ดีพอ เราให้โจทย์ข้อนี้ \beta = 2.2

ข้อ 9. ให้วงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม ABC สัมผัสด้าน AB ที่จุด D
ให้ P เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง BC ที่ไม่ใช่จุด B และ C
ให้ K,L เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม ABP,ACP ตามลำดับ
ถ้าวงกลมล้อมรอบรูปสามเหี่ลยม KPL ตัด AP อีกครั้งที่จุด Q
จงพิสูจน์ว่า AD = AQ

ข้อคิดเห็น ถึงแม้ว่าโจทย์ข้อนี้จะมีวิธีที่ไม่ใช้การอัด แต่วิธีทำของเราในโจทย์ข้อนี้เป็นการอัด เราให้ความยากโจทย์ข้อนี้ \beta = 2.5 เมื่อมองจากการอัด

ข้อ 10. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงแสดงว่าถ้าฟังก์ชัน f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} สอดคล้อง

a f(x+y)+ b f(x-y) = c f(x) + g(y)

สำหรับทุก x,y ซึ่ง y > 2018 แล้วจะมีฟังก์ชัน h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ซึ่ง

f(x+y)+f(x-y) = 2f(x) + h(y)

สำหรับทุกจำนวนจริง x และ y

ข้อคิดเห็น ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ยากที่สุดอย่างชัดเจน เราทราบเฉลยของโจทย์ข้อนี้อยู่หลายวิธี แต่วิธีที่เราได้นำมาแสดง (ในไฟล์ข้างล่าง) เป็นวิธีที่น่าจะสั้นที่สุด ความยากของโจทย์ข้อนี้คือประมาณ \beta = 3.2

สำหรับไฟล์เฉลยของเรานั้น เราได้ใส่ไว้ในคลังข้อสอบเก่าของเราแล้ว คลิกที่นี่เพื่อไปยังไฟล์โดยตรง

Leave a comment