โจทย์ประจำสัปดาห์ ครั้งที่ 4

โจทย์ประจำสัปดาห์ เป็นกิจกรรมที่เราได้คัดสรรโจทย์ 3 ข้อที่น่าสนใจมาในแต่ละสัปดาห์ โดยแบ่งโจทย์ออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่ E (Easy), M (Medium), H (Hard) ในที่นี้โจทย์หมวด E จะมีความยากประมาณ TMO หรือน้อยกว่า, โจทย์หมวด M จะมีความยากประมาณข้อสอบค่ายตุลา หรือข้อสอบ IMO ข้อง่าย และโจทย์หมวด H จะมีความยากประมาณข้อสอบ IMO ข้อกลางหรือยาก

E4 [Classical]

อลิซกับบ็อบผลัดกันเลือกจำนวนเต็มบวกจาก $1,2,...,9$ โดยจำนวนที่ถูกเลือกไปแล้วจะถูกนำออกไป ผู้เล่นคนแรกที่ได้จำนวนเต็มบวก $3$ จำนวนที่บวกกันได้ $15$ เป็นคนแรกจะชนะ อลิซ ซึ่งเป็นผู้เล่นคนแรกจะมีวิธีการชนะเสมอหรือไม่

M4 [The Guardian]

กำหนดตารางขนาด $100\times 100$ ซึ่งมีลูกศรชี้ไปยังหนึ่งในสี่ทิศทาง ขึ้น ลง ซ้าย ขวา อยู่ในแต่ละ $100^2$ ช่อง ในตอนแรกคุณอยู่ในช่องช่องหนึ่ง เป้าหมายของตุณคือออกจากตาราง โดยในแต่ละตา คุณต้องเดินไปยังช่องที่อยู่ติดกัน หรือเดินออกจากตาราง โดยเดินตามทิศทางที่ลูกศรในช่องที่คุณอยู่ชี้ไป และเมื่อคุณเดินออกจากช่องใดช่องหนึ่งแล้ว ต้องหมุนลูกศรในช่องนั้นไป $90$ องศาในทิศตามเข็มนาฬิกา จงตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือไม่ที่ ไม่ว่าคุณจะเริ่มต้นจากช่องไหน และไม่ว่าในตอนเริ่ม ทิศทางที่ลูกศรทั้งหมดชี้ไปเป็นทิศใด คุณจะสามารถเดินออกจากตารางได้ในที่สุด

H4 [@gausskarl on AoPS]

กำหนด $\mathcal{P} =\{ P_1,P_2,...,P_{2018} \}$ เป็นเซตของจุด $2018$ ที่อยู่ภายในวงกลมรัศมี $1$ โดยที่ $P_1$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม สำหรับ $k=1,2,...,2018$ ให้ $d_k$ เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจาก $P_k$ ไปยังจุดอื่นในเซต $\mathcal{P}$ ที่อยู่ใกล้กับ $P_k$ มากที่สุด จงพิสูจน์ว่า